數學 B3｜P71–P89 完整解題

依你提供的 11 頁作業逐題核對，所有題目皆有解題步驟，答案預設全部收折。

共 33 組題目／例題 範圍：P71–P74、P83–P89 最下方附完整答案總表 第29題、第P87 ex16另標示題意注意
核對清單： P71：ex1、ex2、28；P72：29–31；P73：32–34；P74：35–37； P83：ex1–ex3；P84：ex4–ex7；P85：ex8–ex10；P86：ex11–ex13； P87：ex14–ex16；P88：ex17–ex19；P89：ex20–ex21。

P71–P74｜畢氏定理應用題

P71 ex1

正三角形：高與面積

正三角形 ABC 邊長 8，從 A 向 BC 作高 AH，求 AH 與三角形面積。

展開解題步驟與答案
  1. 正三角形的高會平分底邊，所以 BH = HC = 8 ÷ 2 = 4。
  2. 在直角三角形 ABH 中：AH² = AB² − BH² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48。
  3. 所以 AH = √48 = 4√3。
  4. 面積 = 1/2 × BC × AH = 1/2 × 8 × 4√3 = 16√3。
答案(1) AH = 4√3 公尺　(2) 面積 = 16√3 平方公尺
P71 ex2

已知正三角形面積求周長

正三角形面積為 36√3 平方公分，求周長。

展開解題步驟與答案
  1. 正三角形邊長設為 a，面積公式為 (√3/4)a²。
  2. (√3/4)a² = 36√3。
  3. 兩邊除以 √3：a²/4 = 36，所以 a² = 144，a = 12。
  4. 周長 = 3 × 12 = 36。
答案36 公分
第28題

多次轉向後的直線距離

依題目路線走完後，求小寶家與車站的直線距離。

展開解題步驟與答案
  1. 東西方向淨位移：向東 12 − 向西 8 + 向東 1 = 向東 5 公里。
  2. 南北方向淨位移：向北 5 + 7 = 向北 12 公里。
  3. 直線距離 = √(5² + 12²) = √169 = 13 公里。
答案13 公里
第29題

道路繞行與直線行走時間

A→B 120 公尺，B→C 180 公尺，C 右轉 90° 再走 240 公尺到 D；共走 9 分鐘。依題圖求若由 A 直走 D 需幾分鐘。

展開解題步驟與答案
讀圖重點：本題依講義圖意，B、D 位在同一東西向直線上；若完全只讀文字而不採用題圖，「東偏北」沒有給角度，資料會不足。
  1. 繞行總路程 = 120 + 180 + 240 = 540 公尺。
  2. 速度 = 540 ÷ 9 = 60 公尺/分。
  3. △BCD 在 C 為直角，BD = √(180² + 240²) = √90000 = 300 公尺。
  4. 依題圖 A、B、D 同一直線，AD = AB + BD = 120 + 300 = 420 公尺。
  5. 直走時間 = 420 ÷ 60 = 7 分鐘。
答案7 分鐘
第30題

大小正方形拼圖

邊長 3 的小正方形與四個邊長 8 的正方形依圖拼接，ABCD 為正方形，求其面積。

展開解題步驟與答案
  1. 依圖觀察正方形 ABCD 的一邊 AD：水平方向跨 8，垂直方向相差 3。
  2. 所以 AD² = 8² + 3² = 64 + 9 = 73。
  3. 正方形面積 = 邊長²，因此面積直接就是 AD² = 73。
答案73 平方單位
第31題

相同對角線的兩種螢幕

甲、乙兩長方形對角線都為 10，長寬比分別為 4:3 與 3:2，判斷哪個面積較大。

展開解題步驟與答案
  1. 甲：4:3 是 3-4-5 型，對角線 10 = 5×2，所以長寬為 8、6，面積 = 48。
  2. 乙：設長寬為 3k、2k，則 √(9k²+4k²)=√13·k=10，所以 k²=100/13。
  3. 乙面積 = 6k² = 600/13。
  4. 甲面積 48 = 624/13 ＞ 600/13，所以甲較大。
答案甲款式較大
第32題

飲料杯與吸管露出長度

圓柱杯半徑 5、高 12，20 公分吸管由杯蓋中心斜插到杯底邊緣，求露在杯外的長度。

展開解題步驟與答案
  1. 杯內吸管形成直角三角形，兩股為高度 12 與半徑 5。
  2. 杯內長度 = √(12²+5²) = √169 = 13 公分。
  3. 露出杯外 = 20 − 13 = 7 公分。
答案7 公分
第33題

梯子靠牆

梯長 2.5 公尺，梯腳離牆 0.7 公尺；(1) 梯頂高度？(2) 梯頂降低 0.4 公尺後，梯腳離牆多遠？

展開解題步驟與答案
  1. (1) 高度 = √(2.5²−0.7²) = √(6.25−0.49) = √5.76 = 2.4 公尺。
  2. (2) 新高度 = 2.4−0.4 = 2.0 公尺。
  3. 新梯腳距離 = √(2.5²−2²) = √(6.25−4) = √2.25 = 1.5 公尺。
答案(1) 2.4 公尺　(2) 1.5 公尺
第34題

方格道路比較最短路徑

依 1×1 方格圖比較 P、Q、R、S 四條從 A 鎮到 B 鎮的道路，找最短者。

展開解題步驟與答案
  1. 依 5×5 方格讀圖：
  2. P：√(5²+1²)+4 = √26+4 ≈ 9.10。
  3. Q：2+2+√(3²+3²) = 4+3√2 ≈ 8.24。
  4. R：√(2²+4²)+1+3 = 2√5+4 ≈ 8.47。
  5. S：5+5 = 10。
  6. 最小的是 Q。
答案Q 路徑（選 B）
第35題

勾股容方：直角三角形內接正方形

直角三角形 AB=12、斜邊 AC=13，內接正方形 DBFE，求 (1) BC；(2) 正方形邊長。

展開解題步驟與答案
  1. (1) BC = √(13²−12²) = √25 = 5。
  2. (2) 設正方形邊長為 x。把 B 當原點，BC 為水平軸、BA 為垂直軸，斜邊 AC 的截距式可寫成 X/5 + Y/12 = 1。
  3. 正方形右上角 E 的座標為 (x,x)，且 E 在 AC 上，所以 x/5 + x/12 = 1。
  4. 17x/60 = 1，因此 x = 60/17。
答案(1) BC = 5　(2) 正方形邊長 = 60/17
第36題

蓮花拉到池邊

蓮花高出水面 AD=25 公分，水面水平距離 AC=75 公分，把花頂 D 拉到池邊 C，求蓮花莖 BD 長。

展開解題步驟與答案
  1. 設水深 AB = x，原本莖長 BD = x+25。
  2. 拉到 C 後，莖長不變，所以 BC = x+25。
  3. △ABC 為直角三角形：x²+75²=(x+25)²。
  4. x²+5625=x²+50x+625，所以 50x=5000，x=100。
  5. BD = 100+25 = 125 公分。
答案125 公分
第37題

正方形剪成正八邊形

邊長 10 的正方形四角剪去等腰直角三角形，形成正八邊形，求正八邊形邊長。

展開解題步驟與答案
  1. 設每個被剪掉的等腰直角三角形兩股為 x。
  2. 正八邊形的斜邊 = x√2；原正方形邊上留下的水平邊 = 10−2x。
  3. 因為是正八邊形：x√2 = 10−2x。
  4. x(2+√2)=10。
  5. 所求邊長 = x√2 = 10(√2−1)。
答案10(√2−1)

P83–P89｜進階題

P83 ex1

對角線互相垂直的四邊形

四邊形 ABCD 的兩對角線互相垂直，AB=3、CD=4，求 BC²+DA²。

展開解題步驟與答案
  1. 設兩對角線交於 O。因為互相垂直，各邊都可用畢氏定理拆成兩個垂直分量。
  2. AB² = AO²+BO² = 9；CD² = CO²+DO² = 16。
  3. BC²+DA² = (BO²+CO²)+(DO²+AO²)。
  4. 重新排列 = (AO²+BO²)+(CO²+DO²)=9+16=25。
答案25
P83 ex2

矩形內一點：四點距離

矩形 ABCD 內有點 P，PA=5、PB=4、PC=3，求 PD。

展開解題步驟與答案
  1. 矩形內任一點有「對角頂點平方和相等」：PA²+PC² = PB²+PD²。
  2. 25+9 = 16+PD²。
  3. PD²=18，所以 PD=√18=3√2。
答案3√2
P83 ex3

矩形摺紙：D 摺到 BC 上

矩形 AB=8、AD=10，把 D 摺到 BC 上的 F，摺痕為 AE，求 BF、EF、AE。

展開解題步驟與答案
  1. 摺紙後 D 與 F 對稱，摺痕上的 A、E 到 D、F 距離相等，因此 AF=AD=10，ED=EF。
  2. △ABF：BF=√(AF²−AB²)=√(100−64)=6。
  3. BC=AD=10，所以 FC=10−6=4。
  4. 設 EC=t，則 ED=8−t，且 EF=√(4²+t²)。由 ED=EF： (8−t)²=16+t²。
  5. 64−16t=16，t=3，所以 EF=ED=5。
  6. AE 的水平差 10、垂直差 8−3=5，所以 AE=√(10²+5²)=5√5。
答案BF=6，EF=5，AE=5√5
P84 ex4

直線到原點的最短距離

(1) 直線 4x+3y=12 與原點的最短距離；(2) 垂足座標。

展開解題步驟與答案
  1. 原直線斜率為 −4/3，所以垂線斜率為 3/4。
  2. 過原點的垂線：y=3x/4。
  3. 代入 4x+3y=12：4x+9x/4=12，得到 25x/4=12，所以 x=48/25。
  4. y=3/4×48/25=36/25。
  5. 最短距離 = √[(48/25)²+(36/25)²] = 60/25 = 12/5。
答案(1) 12/5　(2) (48/25，36/25)
P84 ex5

整數格點到原點距離 √13

x、y 坐標皆為整數，且與原點距離為 √13，求共有幾個點。

展開解題步驟與答案
  1. x²+y²=13。
  2. 整數平方能組成 13 的只有 4+9，也就是 2²+3²。
  3. 可交換 x、y： (2,3)、(3,2)；每個座標又各有正負號。
  4. 共 2×2×2 = 8 個。
答案8 個
P84 ex6

坐標軸截距與象限

直線 L：2x−ay=4 不通過第三象限，與 x、y 軸交於 A、B，且 AB=√29，求 a。

展開解題步驟與答案
  1. 令 y=0，得 A=(2,0)。令 x=0，得 B=(0,−4/a)。
  2. AB² = 2²+(−4/a)² = 29。
  3. 4+16/a²=29，所以 16/a²=25，a²=16/25，a=±4/5。
  4. 若 a>0，直線會進入第三象限；題目說不通過第三象限，所以取 a<0。
  5. a=−4/5。
答案a = −4/5
P84 ex7

坐標平面上的正三角形

A(0,2)、B(0,5)，△ABC 為正三角形且 C 在第二象限，求 C(a,b)。

展開解題步驟與答案
  1. AB=3，AB 的中點為 (0,7/2)。
  2. 正三角形的高 = 3√3/2，而且因 AB 是垂直線，所以第三點 C 在中點的水平左右兩側。
  3. C 在第二象限，因此 x 取負值。
  4. C = (−3√3/2，7/2)。
答案a = −3√3/2，b = 7/2
P85 ex8

直角三角形周長與面積

直角三角形周長 39，斜邊 18，求面積。

展開解題步驟與答案
  1. 兩股設為 x、y。因周長 39，所以 x+y=39−18=21。
  2. 又 x²+y²=18²=324。
  3. (x+y)²=x²+y²+2xy，所以 21²=324+2xy。
  4. 441−324=2xy，xy=117/2。
  5. 面積 = xy/2 = 117/4。
答案117/4 平方公分
P85 ex9

畢氏樹：七個正方形面積和

圖中所有四邊形都是正方形、所有三角形都是直角三角形；最大正方形面積 22，求七個正方形面積總和。

展開解題步驟與答案
  1. 每個直角三角形三邊外作正方形時，斜邊上的正方形面積 = 兩股上的正方形面積和。
  2. 最下層最大正方形面積 = 22。
  3. 它上方的兩個正方形面積和也 = 22。
  4. 最上方四個正方形分成兩組，各組面積和等於上一層的父正方形，所以四個合計仍 = 22。
  5. 七個總和 = 22+22+22 = 66。
答案66
P85 ex10

不等腰三角形求高

AB=2、BC=4、AC=3，AD⊥BC，求 BD、AD 及 △ABC 面積。

展開解題步驟與答案
  1. 設 BD=x，則 DC=4−x。
  2. 由 △ABD：AD²=2²−x²=4−x²。
  3. 由 △ACD：3²=AD²+(4−x)²。
  4. 代入：9=4−x²+(4−x)²=20−8x，所以 x=11/8。
  5. AD²=4−(11/8)²=(256−121)/64=135/64，所以 AD=3√15/8。
  6. 面積 = 1/2×4×AD = 3√15/4。
答案BD=11/8，AD=3√15/8，面積=3√15/4
P86 ex11

海龍公式

(1) 用海龍公式求 3、4、5 三角形面積；(2) 圖中三邊 17、10、21，求高 AD。

展開解題步驟與答案
  1. (1) 半周長 p=(3+4+5)/2=6。
  2. 面積 = √[6(6−3)(6−4)(6−5)] = √(6×3×2×1)=6。
  3. (2) 半周長 p=(17+10+21)/2=24。
  4. 面積 = √[24×(24−17)×(24−10)×(24−21)] = √(24×7×14×3)=84。
  5. 84 = 1/2×21×AD，所以 AD=8。
答案(1) 6　(2) AD=8
P86 ex12

三角形內線段 AD

AC=13、AB=7，D 在 BC 上，CD=8、BD=7，求 AD。

展開解題步驟與答案
  1. BC=8+7=15。令 C=(0,0)、B=(15,0)、D=(8,0)，A=(x,y)。
  2. 由 AC=13：x²+y²=169。
  3. 由 AB=7：(x−15)²+y²=49。
  4. 兩式相減：−30x+225=−120，所以 x=23/2。
  5. y²=169−(23/2)²=147/4。
  6. AD²=(23/2−8)²+147/4=(7/2)²+147/4=49，所以 AD=7。
答案7
P86 ex13

連續直角三角形與五邊形周長

三個較小直角三角形組成五邊形 OABCD，AB=1、BC=2、CD=2，周長 14，求 OA。

展開解題步驟與答案
  1. 設 OA=x。連續使用畢氏定理：
  2. OB²=x²+1²；OC²=OB²+2²=x²+5；OD²=OC²+2²=x²+9。
  3. 五邊形周長：OA+AB+BC+CD+DO=14，所以 x+1+2+2+OD=14。
  4. 因此 x+OD=9。
  5. 又 OD²−x²=9，所以 (OD−x)(OD+x)=9。
  6. OD+x=9，故 OD−x=1。聯立得 x=4。
答案OA=4
P87 ex14

長方形中點與垂距

長方形 AB=10、BC=12，E 為 CD 中點，AF⊥BE，求 AF。

展開解題步驟與答案
  1. 因 E 是 CD 中點，CE=ED=5。
  2. △BCE 為直角三角形，BE=√(12²+5²)=13。
  3. △ABE 面積也可用 AB 作底：1/2×10×12=60。
  4. 又以 BE 作底時：面積 = 1/2×13×AF。
  5. 所以 60=13AF/2，AF=120/13。
答案120/13
P87 ex15

15° 直角三角形

∠C=90°、∠A=15°、BC=1，求斜邊 AB。

展開解題步驟與答案
  1. sin15° = 對邊/斜邊 = BC/AB = 1/AB。
  2. 所以 AB=1/sin15°。
  3. sin15°=(√6−√2)/4。
  4. AB=4/(√6−√2)=√6+√2。
答案√6+√2
P87 ex16

直角三角形的 C 點座標

A(3,0)、B(−2,1)，C 在直線 x=−2 上，且 △ABC 為直角三角形，求 C。

展開解題步驟與答案
題意有歧義：原題沒有寫「哪一個角是直角」，所以數學上要把可能的直角位置都檢查。
  1. 設 C=(−2,t)。
  2. 若 ∠C=90°：AC 向量為 (5,−t)，BC 為 (0,1−t)。垂直條件給 t(1−t)=0；t=1 會使 C=B，捨去，所以 t=0，C=(−2,0)。
  3. 若 ∠A=90°：AB=(−5,1)，AC=(−5,t)，垂直條件 25+t=0，所以 t=−25，C=(−2,−25)。
  4. 若 ∠B=90°，只會得到 C=B 的退化情形，捨去。
答案嚴格依題意有兩解：C=(−2,0) 或 C=(−2,−25)。若老師預設 ∠C=90°，則 C=(−2,0)。
P88 ex17

長方形內垂直線段

長方形 AB=12、BC=25，E 在 BC 上且 AE⊥DE，求 AE+DE。

展開解題步驟與答案
  1. 令 BE=x，則 EC=25−x。
  2. 取 E 為頂點看兩條向量，AE⊥DE 可得到 x(25−x)=12²=144。
  3. x²−25x+144=0，分解為 (x−9)(x−16)=0，所以 x=9 或 16。
  4. 若 x=9：AE=√(9²+12²)=15，DE=√(16²+12²)=20。
  5. 另一個解只是交換 15、20，因此 AE+DE=35。
答案35
P88 ex18

圓、直線與內接矩形面積

圓心 O、半徑 a，直線 AB：x+y=b 與圓交於 C、D；由 C 向坐標軸作垂線形成矩形 OFCE，求其面積（以 a、b 表示）。

展開解題步驟與答案
  1. 設 C=(x,y)，則矩形 OFCE 面積 = xy。
  2. C 在直線 x+y=b 上，所以 (x+y)²=b²。
  3. C 也在半徑 a 的圓上，所以 x²+y²=a²。
  4. b²=(x+y)²=x²+y²+2xy=a²+2xy。
  5. 因此 xy=(b²−a²)/2。
答案(b²−a²)/2
P88 ex19

單擺球心位置

擺長 10，最低時球心離桌面 5；在 B 時離桌面 9，在 C 時離桌面 7，求 BC。

展開解題步驟與答案
  1. 最低點球心離桌 5，擺長 10，所以支點 O 離桌面 15。
  2. B 點球心高度 9，因此從 O 向下的垂直距離 =15−9=6；水平距離 =√(10²−6²)=8。
  3. C 點球心高度 7，因此向下垂直距離 =15−7=8；水平距離 =√(10²−8²)=6。
  4. 依圖 B、C 在支點兩側，所以兩點水平差 =8+6=14，垂直差 =8−6=2。
  5. BC=√(14²+2²)=√200=10√2。
答案10√2 公分
P89 ex20

矩形比例點與三角形面積

矩形 ABCD 中，AE=3DE、CF=2DF，BE=3√13、BF=2√19，求 △BEF 面積。

展開解題步驟與答案
  1. 設 DE=x，則 AE=3x，矩形寬 AD=4x。
  2. 設 DF=y，則 CF=2y，矩形高 DC=3y。
  3. BE²=(3x)²+(3y)²=117，所以 x²+y²=13。
  4. BF²=(4x)²+(2y)²=76，所以 4x²+y²=19。
  5. 相減得 3x²=6，所以 x²=2；再得 y²=11，因此 xy=√22。
  6. 以 B 為原點，E=(3x,3y)、F=(4x,2y)。三角形面積 = 1/2|3x·2y−3y·4x| = 3xy = 3√22。
答案3√22（選 B）
P89 ex21

方格線求 ∠ACB

A、B、C 都在方格交點，依圖求 ∠ACB。

展開解題步驟與答案
  1. 由格線從 C 看 A：向左 3 格、向下 1 格，所以向量 CA=(−3,−1)。
  2. 從 C 看 B：向右 2 格、向下 1 格，所以 CB=(2,−1)。
  3. CA·CB=(−3)(2)+(−1)(−1)=−5。
  4. |CA|=√10，|CB|=√5，因此 cos∠ACB=−5/(√10·√5)=−1/√2。
  5. 所以 ∠ACB=135°。
答案135°

全部答案彙整

依你的要求，答案總表也預設收折；需要核對時再展開。

展開 33 組答案總表
題號答案
P71 ex1(1) AH = 4√3 公尺　(2) 面積 = 16√3 平方公尺
P71 ex236 公分
第28題13 公里
第29題7 分鐘
第30題73 平方單位
第31題甲款式較大
第32題7 公分
第33題(1) 2.4 公尺　(2) 1.5 公尺
第34題Q 路徑（選 B）
第35題(1) BC = 5　(2) 正方形邊長 = 60/17
第36題125 公分
第37題10(√2−1)
P83 ex125
P83 ex23√2
P83 ex3BF=6，EF=5，AE=5√5
P84 ex4(1) 12/5　(2) (48/25，36/25)
P84 ex58 個
P84 ex6a = −4/5
P84 ex7a = −3√3/2，b = 7/2
P85 ex8117/4 平方公分
P85 ex966
P85 ex10BD=11/8，AD=3√15/8，面積=3√15/4
P86 ex11(1) 6　(2) AD=8
P86 ex127
P86 ex13OA=4
P87 ex14120/13
P87 ex15√6+√2
P87 ex16嚴格依題意有兩解：C=(−2,0) 或 C=(−2,−25)。若老師預設 ∠C=90°，則 C=(−2,0)。
P88 ex1735
P88 ex18(b²−a²)/2
P88 ex1910√2 公分
P89 ex203√22（選 B）
P89 ex21135°